2.1 Modèles de moyenne mobile (modèles MA) Les modèles de séries chronologiques connus sous le nom de modèles ARIMA peuvent inclure des termes autorégressifs ou des termes de moyenne mobile. Dans la semaine 1, nous avons appris un terme autorégressif dans un modèle de série chronologique pour la variable x t est une valeur décalée de x t. Par exemple, un terme autorégressif de retard 1 est x t-1 (multiplié par un coefficient). Cette leçon définit les termes moyens mobiles. Un terme moyen mobile dans un modèle de séries chronologiques est une erreur passée (multipliée par un coefficient). Soit (wt overet N (0, sigma2w)), ce qui signifie que les w t sont identiquement, indépendamment distribués, chacun avec une distribution normale ayant une moyenne 0 et la même variance. Le modèle de moyenne mobile du 1er ordre, noté MA (1) est (xt mu wt theta1w) Le modèle de moyenne mobile du 2 e ordre, noté MA (2) est (xt mu wt theta1w theta2w) , Notée MA (q) est (xt mu wt theta1w theta2w points thetaqw) Note. De nombreux manuels et programmes logiciels définissent le modèle avec des signes négatifs avant les termes. Cela ne modifie pas les propriétés théoriques générales du modèle, bien qu'il renverse les signes algébriques des valeurs des coefficients estimés et des termes (non carrés) dans les formules pour les ACF et les variances. Vous devez vérifier votre logiciel pour vérifier si des signes négatifs ou positifs ont été utilisés pour écrire correctement le modèle estimé. R utilise des signes positifs dans son modèle sous-jacent, comme nous le faisons ici. Propriétés théoriques d'une série temporelle avec un modèle MA (1) Notez que la seule valeur non nulle dans l'ACF théorique est pour le lag 1. Toutes les autres autocorrélations sont 0. Ainsi, un échantillon ACF avec une autocorrélation significative seulement au décalage 1 est un indicateur d'un modèle MA (1) possible. Pour les étudiants intéressés, les preuves de ces propriétés sont une annexe à ce document. Exemple 1 Supposons qu'un modèle MA (1) soit x t 10 w t .7 w t-1. Où (wt dépasse N (0,1)). Ainsi, le coefficient 1 0,7. L'ACF théorique est donné par Un tracé de cette ACF suit. Le graphique qui vient d'être montré est l'ACF théorique pour un MA (1) avec 1 0,7. En pratique, un échantillon ne fournira habituellement qu'un tel motif clair. En utilisant R, nous avons simulé n 100 échantillons en utilisant le modèle x t 10 w t .7 w t-1 où w t iid N (0,1). Pour cette simulation, un schéma chronologique des données de l'échantillon suit. Nous ne pouvons pas dire beaucoup de cette intrigue. L'échantillon ACF pour les données simulées suit. Nous observons un pic au décalage 1 suivi par des valeurs généralement non significatives pour les décalages au-delà de 1. Notez que l'échantillon ACF ne correspond pas au modèle théorique du MA (1) sous-jacent, c'est-à-dire que toutes les autocorrélations Un échantillon différent aurait un ACF d'échantillon légèrement différent indiqué ci-dessous, mais aurait probablement les mêmes caractéristiques générales. Propriétés théoriques d'une série temporelle avec un modèle MA (2) Pour le modèle MA (2), les propriétés théoriques sont les suivantes: Noter que les seules valeurs non nulles dans l'ACF théorique sont pour les lags 1 et 2. Les autocorrélations pour les décalages supérieurs sont 0 . Ainsi, un échantillon ACF avec des autocorrélations significatives aux décalages 1 et 2, mais des autocorrélations non significatives pour des décalages plus élevés indique un modèle MA (2) possible. Iid N (0,1). Les coefficients sont 1 0,5 et 2 0,3. Parce qu'il s'agit d'une MA (2), l'ACF théorique aura des valeurs non nulles uniquement aux lags 1 et 2. Les valeurs des deux autocorrélations non nulles sont: Un tracé de la théorie ACF suit. Comme presque toujours le cas, les données d'échantillon ne se comporteront pas aussi parfaitement que la théorie. Nous avons simulé n 150 échantillons pour le modèle x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Où w t iid N (0,1). Le tracé de la série chronologique des données suit. Comme avec le graphique de la série temporelle pour les données d'échantillon MA (1), vous ne pouvez pas en dire beaucoup. L'échantillon ACF pour les données simulées suit. Le modèle est typique pour les situations où un modèle MA (2) peut être utile. Il y a deux pointes statistiquement significatives aux écarts 1 et 2, suivies des valeurs non significatives pour les autres retards. Notez qu'en raison de l'erreur d'échantillonnage, l'ACF de l'échantillon ne correspondait pas exactement au modèle théorique. ACF pour les modèles General MA (q) Une propriété des modèles MA (q) en général est qu'il existe des autocorrélations non nulles pour les q premiers lags et autocorrélations 0 pour tous les retards gt q. Non-unicité de la connexion entre les valeurs de 1 et (rho1) dans MA (1) Modèle. Dans le modèle MA (1), pour toute valeur de 1. La valeur réciproque 1 1 donne la même valeur pour. Par exemple, utilisez 0,5 pour 1. Puis utilisez 1 (0,5) 2 pour 1. Vous obtiendrez (rho1) 0,4 dans les deux cas. Pour satisfaire une restriction théorique appelée invertibilité. Nous limitons les modèles MA (1) à des valeurs dont la valeur absolue est inférieure à 1. Dans l'exemple donné, 1 0,5 sera une valeur de paramètre admissible, alors que 1 10,5 2 ne le sera pas. Invertibilité des modèles MA Un modèle MA est dit inversible s'il est algébriquement équivalent à un modèle d'ordre infini convergent. En convergeant, nous voulons dire que les coefficients AR décroissent à 0 lorsque nous retournons dans le temps. Invertibilité est une restriction programmée dans le logiciel de séries temporelles utilisé pour estimer les coefficients de modèles avec des termes MA. Ce n'est pas quelque chose que nous vérifions dans l'analyse des données. Des informations supplémentaires sur la restriction d'inversibilité pour les modèles MA (1) sont données en annexe. Théorie avancée. Pour un modèle MA (q) avec un ACF spécifié, il n'existe qu'un seul modèle inversible. La condition nécessaire à l'inversibilité est que les coefficients ont des valeurs telles que l'équation 1- 1 y-. - q y q 0 a des solutions pour y qui tombent en dehors du cercle unitaire. Code R pour les exemples Dans l'exemple 1, nous avons représenté l'ACF théorique du modèle x t 10 w t. 7w t-1. Puis a simulé n 150 valeurs à partir de ce modèle et a représenté graphiquement la série chronologique de l'échantillon et l'échantillon ACF pour les données simulées. Les r commandes utilisées pour tracer l'ACF théorique sont: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags de ACF pour MA (1) avec theta1 0.7 lags0: 10 crée une variable nommée lags qui va de 0 à 10. plot Abline (h0) ajoute un axe horizontal à la trame La première commande détermine l'ACF et la stocke dans un objet (a0) Nommé acfma1 (notre choix de nom). La commande plot (la 3ème commande) trace des retards par rapport aux valeurs ACF pour les lags 1 à 10. Le paramètre ylab étiquette l'axe y et le paramètre principal place un titre sur la trame. Pour voir les valeurs numériques de l'ACF, utilisez simplement la commande acfma1. La simulation et les parcelles ont été effectuées avec les commandes suivantes. (X, typeb, mainSimulated MA (1) data) xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simule n 150 valeurs de MA (1) xxc10 ajoute 10 pour faire la moyenne 10. La simulation (X, xlimc (1,10), mainACF pour des données d'échantillon simulées) Dans l'exemple 2, nous avons représenté graphiquement l'ACF théorique du modèle xt 10 wt.5 w t-1 .3 w t-2. Puis a simulé n 150 valeurs à partir de ce modèle et a représenté graphiquement la série chronologique de l'échantillon et l'échantillon ACF pour les données simulées. Les ordres R utilisés étaient: ACFma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 tracé (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal pour MA (2) avec theta1 0,5, (X, typeb, principale série MA (2) simulée) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Pour les étudiants intéressés, voici des preuves des propriétés théoriques du modèle MA (1). Lorsque x 1, l'expression précédente 1 w 2. Pour tout h 2, l'expression précédente 0 (x), x, x, x, x, x, La raison en est que, par définition de l'indépendance du wt. E (w k w j) 0 pour tout k j. En outre, parce que w t ont une moyenne 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Pour une série chronologique, appliquer ce résultat pour obtenir l'ACF ci-dessus. Un modèle inversible MA est celui qui peut être écrit comme un modèle AR d'ordre infini qui converge de sorte que les coefficients AR convergent vers 0 alors que nous avançons infiniment dans le temps. Bien démontrer l'inversibilité pour le modèle MA (1). On substitue alors la relation (2) pour w t-1 dans l'équation (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) Au temps t-2. L'équation (2) devient Nous substituons alors la relation (4) pour w t-2 dans l'équation (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Si nous devions continuer On notera cependant que si 1 1, les coefficients multipliant les décalages de z augmentent (infiniment) de la taille à mesure que l'on se déplace vers l'arrière temps. Pour éviter cela, nous avons besoin de 1 lt1. C'est la condition pour un modèle inversible MA (1). Infinite Order MA model Dans la semaine 3, voyez bien qu'un modèle AR (1) peut être converti en un modèle d'ordre infini MA: (xt - mu wt phi1w phi21w points phik1 w dots sum phij1w) Cette sommation des termes de bruit blanc passé est connue Comme la représentation causale d'un AR (1). En d'autres termes, x t est un type spécial de MA avec un nombre infini de termes revenant dans le temps. C'est ce qu'on appelle un ordre infini MA ou MA (). Un ordre fini MA est un ordre infini AR et tout ordre fini AR est un ordre infini MA. Rappelons à la semaine 1, nous avons noté qu'une exigence pour un AR stationnaire (1) est que 1 lt1. Calculons le Var (x t) en utilisant la représentation causale. Cette dernière étape utilise un fait de base sur les séries géométriques qui nécessite (phi1lt1) sinon la série diverge. (1) Signification de la moyenne mobile Ordre d'un ordre MA (1) Processus de série chronologique généré en tant que fonction linéaire de la valeur courante et d'une valeur décalée d'une moyenne nulle, d'une variance constante, d'un stochastique non corrélé processus. Site web à visiter: fu-berlin. de Auteur du texte: non indiqué sur le document source du texte ci-dessus Si vous êtes l'auteur du texte ci-dessus et que vous n'êtes pas d'accord pour partager vos connaissances pour l'enseignement, la recherche, la bourse Fair use comme indiqué dans les copyrigh low des États-Unis) veuillez nous envoyer un e-mail et nous allons supprimer votre texte rapidement. L'utilisation équitable est une limitation et une exception au droit exclusif accordé par la loi sur le droit d'auteur à l'auteur d'une œuvre créative. Dans la législation des États-Unis sur le droit d'auteur, l'utilisation équitable est une doctrine qui permet l'utilisation limitée de matériel protégé par le droit d'auteur sans obtenir l'autorisation des détenteurs de droits. Exemples d'utilisation équitable: commentaires, moteurs de recherche, critiques, reportages, recherche, enseignement, archivage des bibliothèques et bourses. 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Les informations de médecine et de santé contenues dans le site sont de nature générale et ont un but purement informatif et ne peuvent donc en aucun cas remplacer le conseil d'un médecin ou Une entité qualifiée légalement à la profession. Il est tout à fait évident que les ACF dans (1.4) et l'un dans (1.8) tous coupés après le retard deux. Ceci est indicatif du fait qu'un processus de moyenne mobile de l'ordre deux et un processus de la série chronologique bilinéaire diagonale pure d'ordre deux ont des structures d'autocorrélation similaires. Par conséquent, il est possible de classer mal un processus bilinéaire diagonal pur de l'ordre deux comme un processus de moyenne mobile d'ordre deux. La facilité avec laquelle les modèles linéaires sont installés et la pratique de l'approximation de modèles non linéaires par des modèles linéaires peuvent également provoquer une mauvaise spécification du processus bilinéaire diagonal pur non linéaire d'ordre deux. De ce qui précède, il est impératif d'étudier l'implication statistique de la classification erronée du modèle susmentionné. À cet égard, nous nous concentrerons sur la fonction de pénalité associée à une classification erronée d'un processus de l'APB (2) en tant que processus MA (2). 2. Relation entre les paramètres du Processus Bilinéaire Diagonal Pur du Deuxième Ordre et le Processus Moyenne Mouvante du Deuxième Ordre Ayant observé que le processus de moyenne mobile de l'ordre deux et le processus bilinéaire diagonal pur d'ordre deux ont des structures d'autocorrélation semblables, il vaut la peine de dériver La relation entre les paramètres des deux modèles. Ces relations nous aideront à obtenir la fonction de pénalité pour classer mal le modèle non linéaire en tant que modèle linéaire concurrent. La méthode des moments qui consiste à assimiler les premier et deuxième moments du modèle bilinéaire diagonal pur aux moments correspondants du processus moyen mobile non nul de l'ordre deux doit être utilisée à cette fin. Si l'on considère le tableau complet contenant 2129 ensembles de valeurs, on constate que la fonction de pénalité pour la classification erronée d'un processus APB (2) en tant que processus MA (2) (P) prend des valeurs positives Pour toutes les valeurs de,. . La valeur positive de la pénalité pour classement erroné d'un processus de l'APB (2) en tant que processus MA (2) montre que cette erreur de classification entraîne une augmentation de la variance des erreurs. Cette constatation est en accord avec les résultats obtenus par 6 en ce qui concerne la classification erronée d'un processus APB (1) en tant que processus MA (1). Pour des fins de prédiction, nous devons trouver la relation entre P et. Tout d'abord, nous tracer P contre chacun de. La figure 1 montre le graphique de P contre. La valeur de p de 0,00 dans le tableau 3 implique que le modèle de régression ajusté convient pour décrire la relation entre P et. 4. Conclusion Dans cette étude, nous avons déterminé l'effet de la classification erronée d'un processus bilinéaire diagonal pur de l'ordre deux comme un processus de moyenne mobile de l'ordre deux. Une fonction de pénalité a été définie et a été utilisée pour calculer les pénalités pour la classification erronée du processus bilinéaire diagonal pur de l'ordre deux comme le processus de moyenne mobile de l'ordre deux basé sur différents ensembles de valeurs des paramètres des deux processus. Les pénalités calculées ont pris des valeurs positives. Ceci indiquait une augmentation de la variance d'erreur due à une mauvaise classification du processus bilinéaire diagonal pur de l'ordre deux comme un processus de moyenne mobile d'ordre deux. Un modèle de régression quadratique a été trouvé approprié pour prédire les pénalités basées sur les paramètres du processus bilinéaire diagonal pur de l'ordre deux. Références Bessels, S. (2006). Un pas au-delà de l'équation résoluble. Staff. science. uu. ncAfstudeerscriptieSanderBessels. pdf (Ce site a été visité en Juin, 2013). Box, G. E. P. Jenkins, G. M. et Reinsel, G. C. (1994). Analyse des séries temporelles: prévision et contrôle. 3 ème éd. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.
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